Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

р

Рис. 6

Рис. 7

 

 

Как мы уже поняли, нарисовать фазовый портрет — это значит ска­зать всё о решениях уравнения. Итак, какие же бывают фазовые портреты? Более точно, нас будет интересовать вопрос о предельном поведении орбит.

Рассмотренные только что фрагменты фазовых портретов можно на­зывать ручными зверями нашего зоопарка. Есть ли в нашем зоопарке ещё какие-нибудь звери, более дикие? Сейчас нам разрешено изобретать любые картинки, которые допускаются теоремой существования и един­ственности. Например, кривая может наматываться на объединение двух петель типа восьмёрки (см. рис. 7).

Это пример дикого животного из нашего зоопарка. Более того, вместо восьмёрки здесь можно нарисовать огромное количество петель (даже счётное число). Тем самым картинки получаются безнадёжно сложные. Есть ли какой-нибудь порядок в этом невероятном разнообразии? Пер­вым, кто «навёл порядок» в динамических системах, был физик А. А. Ан­дронов (1901 —1951). Он понял, что дифференциальные уравнения, ко­торые происходят из физики, должны обладать некоторым свойством общности положения: если в физике встретилась какая-либо реальная задача, то со стопроцентной вероятностью в ней не будет никаких явле­ний типа совпадения независимых величин. Поэтому нужно рисовать не все фазовые портреты, а только фазовые портреты общего положения.

Ещё одно замечательное свойство, открытое Андроновым, заклю­чается в том, что все фазовые портреты общего положения обладают некоторыми ключевыми общими свойствами. Об этих свойствах можно говорить ещё до того, как написано векторное поле.

Подводя итог всему сказанному выше, мы можем разбить историю развития дифференциальных уравнений на три периода:

Ньютон: «Дано уравнение. Решить его.»

Пуанкаре: «Дано уравнение. Описать свойства его решений, не на­ходя их, не пытаясь их вычислить.»

Андронов: «Не дано дифференциальное уравнение. Описать свой­ства его решений.»

Последнее нужно понимать в том смысле, как уже было сказано. Уравнения общего положения обладают массой ключевых одинаковых свойств. Эти свойства и надо описывать. Пусть в физической задаче нет специальных условий типа равенства, то есть нет симметрий, нет зако­нов сохранения. Тогда нет оснований полагать, что требования общности положения нарушаются. Описав свойства уравнений общего положения, мы тем самым опишем те эффекты, которые только и могут встретить­ся в реальных физических процессах. Тем самым, мы получаем теорему, которая выходит за пределы математики, поскольку она объясняет нам, как устроен реальный мир, то есть это физическая теорема.

Рис. 8, а)

Рис. 8, б)

Рис. 8, в)

Скажем несколько слов о могучем физическом смысле этой теоремы. Человек, не заинтересованный в математических деталях, а заинтересо­ванный в вопросе о том, как устроен мир, может интерпретировать эту теорему следующим образом.

Теорема 1.2 (Андронов, Понтрягин). В системе общего положе­ния на плоскости фазовые кривые могут стремиться только к осо­бым точкам и предельным циклам. Более того, почти все траекто­рии стремятся либо к притягивающим особым точкам, либо к при­тягивающим предельным циклам, либо к бесконечности (рис. 8).

Рассмотрим любую физическую систему без каких-либо законов сохранения или симметрий, которая описывает эволюцию состояний, описываемых двумя параметрами (то есть такую, которая соответству­ет дифференциальному уравнению на плоскости), и заинтересуемся предельным поведением решения. Теорема утверждает, что возможные предельные режимы для систем физического происхождения — это ста­ционарный, когда решения сошлись к особой точке, или периодический. Если, кроме того, выполнены некоторые дополнительные требования ти­па компактности, а именно, что за пределами некоторого диска векторное поле направлено внутрь этого диска в том смысле, что все начальные условия оно загоняет внутрь диска (такая система называется диссипативной), то число стационарных и периодических решений конечно.

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.