Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

1.3. Зоопарк фазовых портретов

Для удобства мы сменим обозначения и точку на плоскости (%, р) будем обозначать через %, так что теперь % € М2. Мы исследуем задачу

% = V (%),      (3)

где V — гладкое векторное поле на плоскости.

Теперь поясним термин, упомянутый в названии этого раздела.

Определение. Фазовый портрет — это разбиение фазового про­странства на фазовые кривые.

Чтобы понять это определение, нам потребуется фундаментальный факт из теории дифференциальных уравнений:

Теорема 1.1 (существования, единственности и гладкой зависимости) . Если векторное поле V непрерывно дифференцируемо, то через каждую точку проходит одна и только одна орбита; соот­ветствующие траектории дифференцируемым образом зависят от той точки, через которую проходят.

Точки фазового пространства — это состояния системы. Из теоре­мы существования и единственности следует, что любые две траектории в фазовом пространстве либо не пересекаются, либо совпадают (это и означает, что фазовое пространство разбивается на фазовые кривые). Это обстоятельство оправдывает термин «состояние» для точек фазового пространства: зная то, в каком состоянии находится система в данный момент времени, можно однозначно определить поведение си­стемы в будущем и её поведение в прошлом.

Сейчас мы перейдём к вопросу о том, какими могут быть картинки, то есть фазовые портреты динамических систем.

Даже если векторное поле задано очень простыми формулами, точное рисование фазового портрета, как правило, невозможно: решения со­ответствующих дифференциальных уравнений обычно нельзя выписать в явном виде, а можно искать лишь приближённо. Поэтому мы будем интересоваться фазовыми портретами лишь с качественной точки зрения — с точностью до диффеоморфизма (деформации) плоскости, на которой этот фазовый портрет нарисован. Для этого мы хотим понять, какие фрагменты фазовых портретов могут нам встретиться, и собрать из них «зоопарк».

Первый простейший зверь в нашем зоопарке — это особая точка. Пусть точка а такова, что V (а) = 0. Тогда, если х(0) = а, то х(/) = а. В самом деле, подставляя это решение в уравнение, получаем а = 0 = V(а). Точка а называется особой, или состоянием покоя.

Следующий зверь задаётся уже не формулой, а рисунком (рис. 4). Это замкнутая фазовая кривая. Она может быть окружена соседними фазовыми кривыми.

 

Направление движения точки по фазовой кривой мы будем отмечать стрелочкой. Если рядом нет других замкнутых фазовых кривых, то эта фазовая кривая называется предельным циклом.

Предельные циклы осознал и назвал по имени Пуанкаре, и он же понял ответ на следующий вопрос. Представим себе, что мы наблюдаем реальную систему, которая описывается дифференциальным уравнением вида (3) на плоскости. Как она будет себя вести?

Представим себе, что это уравнение имеет предельный цикл, на ко­торый остальные орбиты наматываются, как показано на рис. 5, причём движение по ним происходит довольно быстро.

Пусть мы выбрали начальное условие вблизи предельного цикла. Дифференциальные уравнения моделируются не только реальными про­цессами, но и на компьютере, так что можно запустить наш компьютер считать, а в это время пойти ужинать. Экран имеет конечную разреша­ющую способность, и, вернувшись с ужина, мы увидим, что точка х(і) вычерчивает на плоскости в точности наш предельный цикл. В каком-то смысле, на этом кусочке фазового портрета нет ничего интересного, кро­ме предельного цикла. Итак, для точки, начальное положение которой было близко к предельному циклу, предельное поведение будет периоди­ческим. Совершенно аналогично, если особая точка является притягива­ющей (то есть к ней сходятся все близкие орбиты), то на картинке рядом с ней, с точки зрения наблюдателя, ничего интересного, кроме самой этой точки, не существует (рис. 6).

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.