Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

хУ) = А со8(а - р(/) = А 8т(а - /).

В частности, любая из окружностей пробегается за время 2п.

Как уже было сказано, в более общем случае получается система

(х, р) = V (х, p),

где V — вектор на плоскости. Мы уже пояснили, как, зная закон движе­ния (х(/), р (/)), получить фазовые кривые. Теперь поясним, почему верно обратное: почему, зная только фазовую кривую, то есть зная, как выгля­дит множество (х(/), р(/)), можно найти функции х(/) и р(/). Иными словами, почему можно восстановить параметризацию заданной фазо­вой кривой параметром t.

Пусть нам задана фазовая кривая — множество точек (х(I), р(I)). Допустим, что ни в какой точке касательная к ней не вертикальна. Тогда эту кривую можно рассматривать как график некоторой гладкой функции р = й(х), то есть р(^ = й(х(строго говоря, мы здесь применяем теорему о неявной функции). Но мы знаем, что х({) = р({), поэтому получаем дифференциальное уравнение

х = й (х).

Такие уравнения легко решаются (это так называемое уравнение с разде­ляющимися переменными, и его решение можно явно выписать), поэтому, решив его, мы найдём х(I), а затем и р(I).

Точно так же можно рассмотреть случай, когда касательные к фа­зовой кривой не горизонтальны — выражая в этом случае х через р. Наконец, чтобы рассмотреть общий случай, можно разбить кривую на маленькие участки, на каждом из которых нет либо вертикальных, ли­бо горизонтальных касательных. Таким образом, мы восстановили закон движения, зная фазовые кривые.

Пуанкаре первым понял, что дифференциальные уравнения — это ветвь геометрии, и начал развивать теорию дифференциальных уравне­ний как теорию, находящуюся на стыке геометрии и математического анализа. Из всего сказанного можно сделать очень важный вывод. Ес­ли мы рассматриваем дифференциальные уравнения на плоскости, то от уравнения можно перейти к геометрической задаче (нарисовать кри­вые, которые касаются заданного векторного поля), ответом к которой является геометрическая картинка. Эти картинки и следует затем ана­лизировать.

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.