Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

1.2. Дифференциальные уравнения и геометрия

Продолжая анализ примера с грузиком на пружинке, мы поговорим о связи дифференциальных уравнений и геометрии. Состояние частицы (состояние грузика) — это положение и скорость. Обозначим p = x, тогда состояние будет парой чисел (x, p). Тогда наше дифференциальное уравнение второго порядка (то есть с производной второго порядка по времени) % = — x превратится в систему двух уравнений первого порядка

 

 

(1)

 

 

На плоскости (х, р) появляется так называемое векторное поле: в каждой точке (х, р) задан вектор V(х, р), а именно, V(х, р) = (р, -х). И система (1) равносильна тому, что в каждый момент времени / вектор скорости (х(/), р(/)) совпадает с вектором поля в этой точке (рис. 2).

р

х

Рис. 2

 

Отметим, что в результате задача восстановления одномерного движения грузика на пружинке оказалась эквивалентной задаче о восстановлении траектории частицы в уста­новившемся течении «жидкости» с известным полем скоростей.

Итак, наша задача — найти закон движения точки (х, р) под действием системы (1), то есть найти (х(/), р(/)). Это аналитиче­ская постановка задачи. Оказывается, её можно переформулировать на геометрическом языке следующим образом: нарисовать кривые, ко­торые в каждой своей точке касаются вектора (р, -х), то есть нашего векторного поля.

Несложно увидеть, что если мы умеем решать задачу в аналитиче­ской постановке, то мы умеем решать её и в геометрической постановке. Действительно, зная решение, мы можем, не рисуя осій Ї, нарисовать на плоскости множество точек (х(/), р(/)). С другой стороны, когда точ­ка движется по некоторой кривой, то её вектор скорости касается этой кривой. Поэтому нарисованная нами кривая будет обладать описанным выше геометрическим свойством: в каждой своей точке она касается со­ответствующего вектора V(х, р).

То, что по решению геометрической задачи можно восстановить ре­шение аналитической, мы обсудим чуть ниже.

В данном частном случае нам нужны кривые, которые касаются век­торного поля (р, —х). Если же мы рассматриваем другой эволюционный процесс, то система будет иметь вид

х = f P),           (2)

Ір = g(х, P),

где f и g — некоторые функции от х, р. Но и в общем случае наша геометрическая задача будет ставиться точно так же (найти кривые, ка­сающиеся векторного поля V = ^, g)) и по тем же соображениям будет «не сложнее» аналитической.

В нашем случае, когда поле имеет вид V(х, р) = (р, —х), ответ по­лучается из элементарной геометрии. Действительно, векторное поле V очень просто задаётся геометрически: его вектор в точке (х, р) получа­ется из радиус-вектора этой точки поворотом на 90° по часовой стрелке. Значит, мы ищем кривые, касательные к которым перпендикулярны со­ответствующим радиус-векторам. Теперь ответ несложно угадывается — это окружности с центром в начале координат (рис. 3).

 

Для упрощения дальнейшего изложения мы введём два термина: Определение. Кривые, которые касаются в каждой точке данно­го векторного поля, называются фазовыми кривыми или орбитами, а пространство, точки которого изображают состояния процесса, назы­вается фазовым пространством.

Итак, геометрия помогла нам найти фазовые кривые в задаче о грузи­ке на пружине. Решим теперь соответствующую аналитическую задачу. Заметим, что пока точка движется по окружности, расстояние от неё до нуля не меняется, значит, не меняется длина радиус-вектора, значит, не меняется длина вектора скорости. Значит, движение по окружности происходит с постоянной по модулю скоростью, и эта скорость равна радиусу окружности. То есть угловая скорость постоянна и равна еди­нице (точнее, минус единице, поскольку движение происходит по часовой стрелке). Значит, закон движения имеет вид

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.