Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

1. Динамические системы на плоскости. 1.1. Грузик на пружинке

Мы сейчас рассмотрим другой пример эволюционного процесса, для которого нам удастся написать дифференциальное уравнение. Предпо­ложим, что на пружинке закреплён груз. Пружинка насажена на стер­жень, так что груз может двигаться только горизонтально вдоль прямой (рис. 1). Он может колебаться на стержне, и его положение в момент времени t на оси х — это одно число х(і).

Выберем систему координат так, чтобы в нерастянутом состоянии грузику соответствовало нулевое положение. Верно ли, что когда пру­жинка растянута, то состояние груза определяется его положением? Мо­жем ли мы, посмотрев на картинку, сказать, как будет двигаться груз? Нет, например, мы даже не можем ответить, глядя на неё, движется ли он вправо или влево. Как и в предыдущем примере, чтобы полностью за­дать состояние, нам нужно не только положение, но и скорость. Значит, состояние — это пара (хх

Здесь следует сделать небольшое отступление об обозначениях. Есть несколько устоявшихся обозначений. Во-первых, независимую перемен­ную очень часто обозначают через х: в школе, на первом курсе... Потом

начинается второй курс, а с ним курс диффе­ренциальных уравнений, иногда одновременно

начинается курс теоретической механики, и тут происходит революционное изменение: неза­висимую переменную начинают обозначать через t (символизируя время), а неизвестную

функцию (положение) часто обозначают через x. Ещё одно революци­онное изменение в обозначениях состоит в том, что вместо dxx или x' (t) начинают писать x(t). Одна точка соответствует первой производной по времени, две точки — второй производной, и так далее.

Итак, пружинка возвращает груз к его прежнему положению. По за­кону Гука сила, с которой пружинка действует на груз, пропорциональна отклонению (то есть пропорциональна x) и направлена противоположно отклонению. Значит, уравнение движения груза на пружине таково:

k

x =       x,

m

где m — масса груза, а k — коэффициент упругости. Будем считать, что система единиц выбрана так, что m = 1, то есть будем обсуждать уравнение x = -x.

Угадаем ответ: непосредственной подстановкой в уравнение легко проверить, что функции

x(t) = C1 sin t + C2 cos t,

где Ci и C2 — произвольные постоянные, являются решениями. То, что других решений у этого уравнения не существует, доказывается с помо­щью теоремы единственности, которую мы сформулируем позже, в §1.3.

Несложно показать, что семейство решений этого уравнения может быть записано в виде

x(t) = A sin(t - a),

где A и a — произвольные постоянные. Мы видим, что движение грузика по оси x происходит периодически с периодом 2 . Здесь A — амплитуда, то есть максимальное отклонение, соответствующее значениям синуса, равным ±1, а а отвечает за смещение «фазы» колебаний. Итак, в момент времени t = грузик проходит через нулевое положение и затем с пе­риодом 2л туда возвращается (с той же скоростью), а с полупериодом и проходит это положение равновесия с противоположной скоростью.

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.