Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

2.4. Что дальше

Вместе с подковой Смейла в динамические системы вошли гипер­болические инвариантные множества и гиперболические динамические системы. Мы не будем говорить о них ничего, кроме того, что они похо­жи на отображение подковы. Подкова имеет инвариантное множество Л, (произведение двух канторовских множеств), и через точки множества Л проходят вертикальные отрезки, которые растягиваются под действием отображения И, и через эти же точки проходят горизонтальные отрез­ки, которые, напротив, сжимаются. Это так называемые вертикальные и горизонтальные слоения. Всё это — атрибуты более сложных и более общих гиперболических систем.

Рис. 18

Возник целый мир гиперболических динамических систем, похожих на подкову Смейла. В этом мире теория вероятностей работает ничуть не в меньшей степени, чем математический анализ. Объяснить это подроб­но мы в рамках этой брошюры не сможем, но коротко можно сказать следующее.

Если у нас есть непрерывное (а тем более, гладкое) взаимно одно­значное отображение, или если есть дифференциальное уравнение, то его орбиты непрерывно зависят от начального условия, то есть от той точки, из которой начинается орбита векторного поля или отображения. Однако, тот факт, что эта непрерывная зависимость имеет место, никак не противоречит следующему наблюдению.

Допустим, что мы очень хорошо направляемой иглой пытаемся нане­сти укол в область определения, определяем место этого укола и начи­наем применять отображение. Затем повторяем эксперимент — в ту же точку наносим укол и снова начинаем применять отображение. При этом мы смотрим на судьбы точек при итерациях, то есть на последователь­ности нулей и единиц. Мы пытались два раза выбрать одно и то же начальное условие, но существует неизбежная погрешность, и результат эксперимента будет таков. Сначала последовательности будут совпа­дать, а потом они начнут различаться, и притом различаться совершенно непредсказуемым образом. Они будут различаться так, как если бы мы два раза не пытались попасть иглой в одну и ту же точку, а тыкали бы наобум.

Происходит это по следующей причине: чтобы десять позиций су­деб вправо и влево от начальной совпали, координаты начальной точки должны отличаться друг от друга на порядок 5-1°. Это такая величи­на, которую в микроскоп углядеть очень трудно, если вообще возможно. А если бы мы Ш заменили на Ю), то можно было бы с уверенностью сказать, что ни в какой микроскоп этой разницы не углядишь. Тем не ме­нее, Ю) позиций по сравнению с миллионами итераций, которые делают современные компьютеры, — это ничтожно мало. Тем самым, грубейшая информация о траекториях — даже не координаты точки, а всего лишь её судьба — теряют всякое сходство с предыдущим экспериментом очень быстро. Это одно из фундаментальных свойств гиперболических систем.

Одно время была надежда, что «почти все» системы гиперболиче­ские. Оказалось, что это не так. История «от умозрения к доказатель­ству» продолжается. Ученик Смейла Палис дал другое сравнительное описание того, к чему могут накапливаться траектории динамических систем. Множества, к которым могут накапливаться траектории дина­мических систем, называются аттракторами. Картинки, которые мы рисовали, скорее дают только интуитивное понятие об аттракторах. На прошлой Летней школе мы говорили о соленоиде Смейла — Вильямса, который является странным аттрактором, аттрактором, добавляю­щим к нашей интуиции новые образы.

Гипотеза Палиса состоит в том, что у типичной динамической системы существует лишь конечное число аттракторов. Правда это или нет — это один из центральных вопросов в теории динамических систем. Этим вопросом мы и закончим наше повествование.

Текст подготовлен по материалам лекции, записанной Дмитрием и Михаилом Вельтищевыми, и отредактирован Виктором Клепцыным. Много ценных замечаний сделал Игорь Шнурников. Автор выражает им свою искреннюю благодарность.

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.