Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

2.3. Символическая динамика

Для доказательства теоремы 2.1 мы будем использовать совершенно новую идею, которая носит имя «символическая динамика». Символи­ческая динамика изучает полные орбиты разных отображений, но она не интересуется подробно, например, тем, какие координаты имеет образ точки под действием отображения И, применённого 10 раз. Нас интере­сует очень простой вопрос: в какую часть области определения попадает точка на п-й итерации отображения — в Оо или в О1? В зависимости от результата на п-е место в ответе пишется 0 или 1.

Теперь скажем то же самое более формально. Пусть x G Л, то есть для всякого m G Z существует Fm(x). Тогда определена судьба точ­ки x, обозначаемая co(x). Это двухсторонняя последовательность нулей и единиц

co(x) = ... со-„со _я+1 . . .СО-lCd0Cdi . . . C0„_1C0 n ..., которая определяется следующим образом:

со„ = i ^ F„(x) G Di (i = 0,1).

Теперь нам предстоит выяснить, много ли существует последователь­ностей, которые могут получиться как судьбы при действии отображения подковы. Ответ на этот вопрос даёт следующая теорема.

Теорема 2.4. Любая двусторонняя последовательность из нулей и единиц реализуется как судьба одной и только одной точки x G Л.

Тем самым получается, что вместо того, чтобы смотреть на точки, имеющие полные орбиты, можно смотреть на их судьбы — на последо­вательности нулей и единиц — и делать какие-то вполне содержательные выводы.

Сначала мы выведем теорему 2.2 из теоремы 2.4. Мы увидим, что это очень просто. Заметим, что периодические точки — это в точности те точ­ки, у которых судьба периодична. То, что у периодической точки судьба периодична, очевидно. Обратно, пусть судьба точки x есть периодиче­ская последовательность. Докажем, что точка периодична. Посмотрим, какова будет судьба у образа этой точки. Там, где мы раньше отмеча­ли положение образа, там теперь будет начальное положение, поэтому это будет та же самая последовательность, сдвинутая на одну позицию влево. Если период точки равен m, то у m-й итерации судьба будет та же, что и у исходной точки, потому что судьба периодична. Значит, у точки и у её m-й итерации будет одна и та же судьба. Но по теореме 2.4, каждая судьба соответствует одной и только одной точке, поэтому, раз у точек одинаковая судьба, то они совпадают, то есть Fm(x) = x. Это и означает периодичность точки x.

Осталось понять, что периодических орбит счётное число. Мы мо­жем написать любую периодическую последовательность , и поскольку в силу той же теоремы 2.4 всякая последовательность реализуется, зна­чит, в частности, и эта реализуется как судьба некоторой точки. Тем самым, для любой периодической последовательности существует пери­одическая точка с этой судьбой. А поскольку периодических последова­тельностей счётное число, то мы получаем счётное число периодических точек. Стало быть, и периодических орбит тоже счётное число.

Теперь мы будем доказывать тео­рему 2.4, а «по пути» докажем и тео­рему 2.1.

Наша цель — реализовать лю­бую последовательность как судь­бу некоторой точки, то есть наша цель — по последовательности най­ти точку, для которой эта после­довательность является судьбой. Давайте зададимся гораздо более скромным вопросом: напишем ку­сочек последовательности. Скажем,

... 01 ....

ыо

Выясним, как выглядит множество точек, у которых судьба имеет ука­занный вид. Множество этих точек обозначим через А)1. Во-первых, поскольку нулевая позиция — это ноль, значит, все точки принадле­жат А). Кроме того, эти точки при итерации попадают в А1. Значит, для начала надо взять весь прямоугольник А), при итерации он весь перей­дёт в А). Посмотрим, какая его часть пересекается с А1 и возьмём от неё прообраз. Это будет тонкий прямоугольник, который после итерации попадёт в А1 (см. рис. 17).

Совершенно аналогично можно понять, где расположено множе­ство А)) (оно отмечено на рис. 17). Это будет ещё один прямоугольник, параллельный первому. Множество А)ю тоже несложно нарисовать: это будет, конечно, подмножество А)1. Легко сообразить, что это бу­дет второй снизу прямоугольник в прямоугольнике А)1. Подробнее, прямоугольник А)1 надо разделить на 5 равных горизонтальных прямо­угольников и взять в качестве А)ш второй прямоугольник снизу.

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.