Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

1>0(х), х є Оо, \рі(х), х є Оі.

Теперь поставим тот же вопрос: как устроено множество точек, на котором определены все итерации отображения Р?

Следующая теорема описывает полные орбиты отображения Р.

Теорема 2.1. Множество точек, для которых определены все итерации отображения Р, — это прямое произведение двух мно­жеств С с [0,1] канторовского типа:

Л = С х С.

Не менее замечательным и очень важным для нас будет другое свойство.

Теорема 2.2. Отображение Р имеет счётное число периодических орбит.

Р: О -)• О'

Р (х)

Ді

Теорема 2.3. Эти свойства «сохраня­ются» при малых возмущениях.

До

Формулировки теорем нуждаются в неко­торых комментариях. Точный смысл слова «сохраняются» в последней теореме состоит в следующем. Если мы возьмём любое отоб­ражение, ^-близкое к Р, то у него будет множество точек, имеющих полные орбиты, гомеоморфное Л.

Рис. 16

Конструкция множества С в первой теореме несколько отличается от классической. Надо полагать, что когда Кантор придумывал свой замечательный пример, ему и в голову не приходило, что в гладком ана­лизе этот пример может возникнуть естественным образом. Канторовы множества после этой теоремы стали популярнейшими действующими лицами в динамических системах и встречаются в них сплошь и рядом.

Теперь поясним, что такое периодическая орбита.

Определение. Пусть точка х такова, что найдётся такое натураль­ное т, что Ит(х) = х. Тогда х называется периодической точкой.

Смысл этого определения очень прост: периодическая точка делает несколько скачков и возвращается на старое место. Ясно, что при даль­нейших отображениях она будет двигаться про этому же циклу. Орбита периодической точки называется периодической орбитой.

Определение. Минимальное т, для которого Ит(х) = х, называется длиной периода.

Как видно из этого определения, точки периода 1 — это неподвижные точки отображения.

Наконец, скажем ещё несколько слов о сохранении свойств при ма­лых возмущениях. Доказательство этого — весьма трудный факт (впро­чем, основная его идея довольно проста, и мы приведём это рассуждение в конце следующего параграфа). Смейл, когда опубликовал свою статью про подкову, не затруднил себя доказательством, потому что ему было совершенно ясно, что это так и будет. Ясно это было также немногим экспертам, которые читали его работы. Д.В.Аносов был первым, кто до­казал аналогичную теорему не для отображения подковы, а для похожих динамических систем, они сейчас носят его имя (аносовские системы), но говорить о них здесь мы ничего не будем. Впрочем, если непосвящённый при словах «аносовская система» подумает о подкове Смейла, то он не слишком сильно ошибётся.

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.