Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

2.2. Подкова Смейла

То, что придумал Смейл (построенную им динамическую систему назы­вают подковой Смейла), долгое время считалось «материалом для посвя­щенных», ибо первые сочинения, в которых оно изложено, не очень легки для чтения. 12 лет назад Александр Игоревич Буфетов (лектор этой Летней школы), был первым школьником, который прослушал рассказ о подкове Смейла, рассчитанный на школьников. Этот рассказ немножко отличает­ся от традиционной формы, в которой подкова Смейла обычно излагается.

Мы будем рассматривать отображение вместо дифференциального уравнения. Теория отображений и их итераций и теория дифференциаль­ных уравнений — это две очень близкие стороны одной теории, и эффек­ты, найденные в одной теории, немедленно переносятся на другую. Здесь мы не будем объяснять, почему это так; отметим лишь, что при перехо­де от отображений к уравнениям обычно размерность увеличивается на единицу — поэтому описанный далее тип поведения в дифференциаль­ных уравнениях встречается, начиная с размерности 3.

Итак, мы будем рассматривать отображение вместо дифференциально­го уравнения и его итерации вместо орбит. По-прежнему, если взять точку и применять к ней итерации отображения, то получается последовательность точек, которая называется орбитой точки под действием отображения.

Сначала мы рассмотрим некоторое очень простое отображение, кото­рое будет кусочно-линейным. Мы возьмём горизонтальный прямоуголь­ник, сожмём его вдоль оси абсцисс (для определённости, в 5 раз) и рас-

Задача 2.1. Напишите отображение в координатах.

Задача 2.2. Найдите координаты неподвижной точки.

Если мы начнём такое отображение итерировать, то кое-что поучи­тельное увидим, но не очень много. Например, поскольку область опре­деления и множество значений у этого отображения не совпадают, не ко всякой точке можно применять его итерации.

Несложно понять, что множество точек, к которым отображение можно применить второй раз, получается следующим образом: нужно взять прямо­угольник, который получается в пересечении образа и прообраза (на рис. 15 он заштрихован), и от него взять прообраз. Этот прообраз будет в пять раз уже, чем исходный прямоугольник и такой же длины, как он сам.

Обозначим исходную область определения через Б1, а отображение обозначим через /. Пусть Бп — это множество точек, к которым отоб­ражение применимо п раз. Легко видеть, что

Оп+1 = /-1(/(Б1) п Оп).

Но в общем, итерации такого отображения ничего неожиданного в себе не несут. Есть очень немного точек, для которых отображение можно ите­рировать бесконечно много раз вперёд. Это те точки, которые лежат на сжимающемся горизонтальном отрезке (см. рис. 14). При этих итерациях они будут всё ближе и ближе прижиматься к неподвижной точке. Кроме то­го, есть вертикальный отрезок, на котором можно брать итерации обратного отображения из вертикального прямоугольника в горизонтальный. И есть одна-единственная точка (неподвижная), для которой можно взять все ите­рации отображения /, то есть все положительные степени самого отобра­жения и его обратного. Это была присказка. А теперь начинается «сказка».

тянем вдоль оси ординат (тоже в 5 раз), как показано на рис. 14. Это отображение будет иметь неподвижную точку.

Рис. 14           Рис. 15

Возьмём единичный квадрат и разделим его на 5 равных вертикаль­ных прямоугольников. Выделим из них второй и четвёртый. Разделим его на пять горизонтальных прямоугольников, тоже выделим из них вто­рой и четвёртый. Обозначим нижний горизонтальный прямоугольник че­рез А), а верхний пусть будет А1. Вертикальные прямоугольники соот­ветственно обозначим А) и А'1. Положим А := А0 и А1 и А' := А) и А{. Мы рассмотрим отображение И, которое определено на А. Оно будет состоять из двух «кусков»: ограничений И на Ао и А1, обозначаемых соответственно И) и ^1. На Ао это будет в точности то самое отобра­жение, которое мы только что анализировали. Оно имеет неподвижную точку, сжимает нижний прямоугольник в 5 раз до ширины левого верти­кального и растягивает его в 5 раз до полной высоты квадрата. Получаем отображение Ио: Ао ^ А). Как мы уже поняли, здесь есть сжимающийся отрезок, переходящий в себя, и есть растягивающийся отрезок, поглоща­ющий себя при отображении И). В дополнение к этому мы определим ещё отображение на верхнем горизонтальном прямоугольнике: : А1 ^ А|. Это будет копия И), повёрнутая на 18) градусов. Из этих кусков мы и соберём отображение И (рис. 16):

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.