Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

2. Многомерные динамические системы. 2.1. Системы Морса — Смейла

Итак, мы уже осознали, насколько хорошо устроен мир в том слу­чае, когда фазовое пространство — это плоскость или двумерная сфера. Теперь настала пора поговорить о том, как устроен мир в фазовых про­странствах высокой размерности. Мы не станем говорить о том, что известно сегодня; это будет история, которой примерно 50 лет. Впрочем, в конце этого рассказа мы доберёмся до некоторых вопросов, которые злободневны сегодня. Что же касается истории, то она состояла из смены заблуждений и пониманий. Каждое заблуждение стимулировало новое понимание, и каждое понимание было своего рода скачком, после ко­торого следовало большое развитие, а потом, в попытке выйти за грань того, что было достигнуто в этом развитии, происходили новые заблуж­дения и новые понимания.

История динамических систем развивалась от умозрения к доказа­тельству, ровно так, как это было с теоремой Андронова. Андронов по­нял, как описываются типичные динамические системы на плоскости и на сфере, и с помощью своего молодого ученика Понтрягина (впрочем, раз­ница между ними была всего 7 лет) доказал теоремы, которые он умозри­тельно открыл. После совсем небольшой работы Андронова и Понтря­гина в развитии теории динамических систем был некий перерыв. Школа Андронова не переставала работать, но материал, который они накопили, не появлялся в виде немедленных публикаций. Трактат, содержащий всё, что было сделано Андроновым и его учениками, появился только через 15 лет после смерти Андронова, в 1966 году, благодаря героическим уси­лиям его вдовы, Евгении Александровны Андроновой-Леонтович. Были изданы две книги четырёх авторов (Андронов, Леонтович, Гордон и Май- ер) под названиями «Качественная теория дифференциальных уравнений на плоскости» и «Теория бифуркаций динамических систем».

В то время как происходило написание этих книг, теорией динами­ческих систем занялся молодой американский математик Стив Смейл (Steve Smale).

В недавние годы Смейл (ему тогда не исполнилось ещё 70 лет), навещал Москву, Независимый Московский Университет (НМУ), делал доклад на заседании Московского Математического Общества и серию докладов в НМУ. Смейл без всяких сомнений мо­жет считаться другом Московского математического сообщества, тем более, что это был не первый его визит в Москву, он приезжал в Россию (в Киев, потом в Москву) в начале 60-х годов. Тогда он общался с математиками своего поколения: Д. В. Аносовым, В. И. Арноль­дом, Я. Г. Синаем, С. П. Новиковым; он оказал большое влияние на математиков России, и сам испытал их влияние.

Стив Смейл, в 50-е годы сделавший замечательные открытия в то­пологии, полностью сменил тематику и занялся теорией динамических систем. Он был вдохновлён тем самым вопросом, о котором уже было сказано: что же происходит в теории динамических систем в многомер­ном фазовом пространстве? Он находился под сильным влиянием работ и идей Андронова, эти идеи были развиты в конце 50-х годов Мариушем Пейксото, который обобщил результаты Андронова — Понтрягина на случай, когда фазовое пространство — тор или любая другая ориен­тируемая двумерная поверхность: сфера с любым количеством ручек. Пейксото доказал, в частности, что траектории типичного векторного поля на ориентируемой замкнутой поверхности стремятся к конечному числу особых точек и предельных циклов.

Итак, рассмотрим дифференциальное уравнение

х = V (х), х € Мп,

где Мп — компактное многообразие без края, например, поверхность в трехмерном пространстве. Всё, что сейчас будет сказано, справедливо и для диссипативных систем в Мя (напомним, что диссипативность си­стемы означает существование шара, в который входят все траектории). На границе шара векторное поле направлено внутрь (то есть все орби­ты, которые начинаются на границе шара, входят в него), и все орбиты, которые начинаются вне этого шара, тоже рано или поздно входят в него (рис. 12).

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.