Книги, учебники и материалы данной библиотеки принадлежат русским и украинским авторам - предназначены исключительно для учебных и ознакомительных целей

Эволюционные процессы и философия общности положения

1.4. Почему верна теорема Андронов

Далее мы обсудим вопрос о том, почему теорема Андронова вер­на. Мы, конечно, только лишь наметим доказательство, причём очень широким пунктиром, но так, однако, чтобы «подкованный» читатель смог самостоятельно довольно далеко продвинуться в заполнении пробелов.

В доказательстве теоремы Андронова есть два шага. Первым ингре­диентом является теорема Пуанкаре — Бендиксона, описывающая воз­можные предельные множества на плоскости и на двумерной сфере (для которой теорема 1.2 тоже имеет место). Мы уже видели двух ручных зверей в нашем зоопарке предельных множеств и одного дикого зверя («восьмёрку»). На самом деле, как утверждает теорема Пуанкаре — Бен- диксона, звери не бывают существенно более дикими, чем те, которых мы уже видели. Здесь мы приведём её приблизительную формулировку, не договаривая некоторых технических деталей.

Теорема 1.3 (Пуанкаре, Бендиксон). В диссипативной системе на плоскости и в системе на сфере предельное множество любой траектории — это либо особая точка, либо объединение особых точек и соединяющих их сепаратрис.

Рис. 9

 

Изображённые на рис. 9 картинки иллюстрируют возможные ва­рианты поведения диссипативных динамических систем в соответствии с теоремой Пуанкаре — Бендиксона.

Доказательство этой теоремы в качестве одного из соображений ис­пользует теорему Жордана — интуитивно очевидный на плоскости и на двумерной сфере факт, при этом неверный уже на торе (не говоря уже о поверхности с большим количеством ручек).

Теорема 1.4 (Жордан). Простая (то есть не имеющая само­пересечений) замкнутая кривая на плоскости или на двумерной сфере разбивает последнюю на две части. Попасть из одной ча­сти в другую можно только пересекая кривую, а любые две точки каждой части можно соединить кривой, целиком лежащей в этой части.

Этот факт применяется в следующей ключевой для доказательства конструкции. Предположим, что траектория проходит дважды в доста­точно малой окрестности неособой точки (в которой все векторы поля направлены «более или менее» в одну сторону). Тогда замкнутая кри­вая, состоящая из отрезка этой траектории от первого входа в окрестность до второго и из короткого отрезка внутри этой окрест­ности ограничивает мешок Бендиксона — область-ловушку, границу которой траекто­рии могут пересекать лишь в одну сторону (см. рис. 10).

Рис. 10

Тем самым, траектории, входящие извне в мешок Бендиксона, никогда его не покинут. Аккуратное построение мешков, всё более точно ловящих входящую траекторию, вкупе с ещё несколькими ар­гументами позволяет завершить доказательство. Мы не будем здесь вдаваться в его детали — мы хотели бы лишь подчеркнуть, что теоре­ма Пуанкаре — Бендиксона существенно использует теорему Жордана и неверна уже на торе, где существуют так называемые иррациональные обмотки.

Вернёмся к теореме Андронова. Второй ингредиент, необходимый для её доказательства — это следующее соображение. Дело в том, что у си­стемы общего положения в принципе не бывает сепаратрисных мно­гоугольников, а, значит, из всего разнообразного зоопарка предельных множеств остаются только особые точки и периодические траектории.

Мы не будем здесь формализовывать понимание термина «систе­ма общего положения», отсылая заинтересованного читателя, например, к книге В. И. Арнольда «Теория катастроф», а лишь поясним, почему вышеприведённое утверждение имеет место.

Действительно, несложно видеть, что малое возмущение поля на реб­ре сепаратрисного контура позволяет этот контур разрушить (рис. 11). Значит, наличие сепаратрисного контура — это условие типа равенства, а условие типа равенства в системе общего положения не может быть выполнено.

Рис. 11

  К оглавлению



Электронная библиотека книг, учебников, справочников и словарей по экономике, философии, медицине, истории, педагогике, психологии, юриспруденции, языковедению и др.